Question

已知向量

a

=(sin2

π

6

x，cos2

π

6

x)，向量

b

與向量

a

關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求函數(shù)g(x)=

a

.

b

的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間；
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，試判斷g（x）與集合M的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(sin2

π

6

x，cos2

π

6

x)，向量

b

與向量

a

關(guān)于x軸對(duì)稱，及函數(shù)g(x)=

a

.

b

，我們易求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易對(duì)g（x）+g（x+2）進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后與g（x+1）進(jìn)行比較，易得到g（x）與集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}的關(guān)系．

解答：解：（1）∵向量

b

與向量

a

稱，
∴

b

=(sin2

π

6

x，-cos2

π

6

x)，
∴g(x)=sin4

π

6

x-cos4

π

6

x
=(sin2

π

6

x-cos2

π

6

x)(sin2

π

6

x+cos2

π

6

x)=-cos

π

3

x
由2kπ≤

π

3

x≤2kπ+π，k∈Z，得6k≤x≤6k+3，k∈Z，
∴g（x）區(qū)間為[6k，6k+3]（k∈Z）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos

πx

3

+cos(

πx

3

+

2π

3

)]
=-(cos

πx

3

+cos

πx

3

cos

2π

3

-sin

πx

3

sin

2π

3

)
=-(

1

2

cos

π

3

-

3

2

sin

πx

3

)
=-cos

π

3

(x+1)=g(x+1)
∴g（x）∈M

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)理積運(yùn)算及演繹推理，其中根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算出函數(shù)g（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．