已知向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，向量
b
與向量
a
關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求函數(shù)g(x)=
a
.
b
的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間；
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，試判斷g（x）與集合M的關(guān)系．
分析：（1）由向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，向量
b
與向量
a
關(guān)于x軸對(duì)稱，及函數(shù)g(x)=
a
.
b
，我們易求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易對(duì)g（x）+g（x+2）進(jìn)行化簡，然后與g（x+1）進(jìn)行比較，易得到g（x）與集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}的關(guān)系．
解答：解：（1）∵向量
b
與向量
a
稱，
∴
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，
∴g(x)=sin4
π
6
x-cos4
π
6
x
=(sin2
π
6
x-cos2
π
6
x)(sin2
π
6
x+cos2
π
6
x)=-cos
π
3
x
由2kπ≤
π
3
x≤2kπ+π，k∈Z，得6k≤x≤6k+3，k∈Z，
∴g（x）區(qū)間為[6k，6k+3]（k∈Z）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos
πx
3
+cos(
πx
3
+
2π
3
)]
=-(cos
πx
3
+cos
πx
3
cos
2π
3
-sin
πx
3
sin
2π
3
)
=-(
1
2
cos
π
3
-
3
2
sin
πx
3
)
=-cos
π
3
(x+1)=g(x+1)
∴g（x）∈M
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)理積運(yùn)算及演繹推理，其中根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算出函數(shù)g（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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