Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PCD為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分別是AB、PD、PC的中點(diǎn)，AB=2AD．
（Ⅰ）求證DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系：過(guò)P作PO⊥CD于O，則O為CD的中點(diǎn)，由平面PDC丄平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而證明，從而得證；
（Ⅱ）分別求出平面PAB、平面PAD的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積公式求夾角．
解答：解：（Ⅰ）過(guò)P作PO⊥CD于O，則O為CD的中點(diǎn)
∵平面PDC丄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則AB=4
∴
∴
∴，∴
∴DE丄MN；
（Ⅱ）設(shè)為平面PAB的一個(gè)法向量，而
由得
∴
又設(shè)為平面PAD的一個(gè)法向量，而
由得
∴
∴
從而可知，二面角B-PA-D的余弦值為

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是用空間向量求平面角的夾角，主要考查空間直角坐標(biāo)系的建立，考查用坐標(biāo)表示向量，考查用空間向量的方法解決線線位置關(guān)系，求二面角的平面角．