【題目】已知點(diǎn)是圓: 上任意一點(diǎn),點(diǎn)與圓心關(guān)于原點(diǎn)對稱.線段的中垂線與交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn),若直線軸且與曲線交于另一點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),證明:點(diǎn)恒在曲線上,并求面積的最大值.
【答案】(1).(2)見解析.
【解析】試題分析:⑴根據(jù)題目條件并結(jié)合橢圓定義,即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
⑵設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,進(jìn)而表示出直線與直線
交于點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明點(diǎn)恒在橢圓上,設(shè)直線: , , ,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到,代入三角形的面積公式,可得,利用換元法,即可求得面積的最大值。
解析:(1)由題意得, 點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)?/span>為中垂線上的點(diǎn),所以,
又,所以,
由橢圓的定義知, , .
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程: .
(2)證明:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,
所以直線: ,即,
直線: ,即;
聯(lián)立方程組,解得, ,則
.
所以點(diǎn)恒在橢圓上.
設(shè)直線: , , ,
則由,消去整理得,
所以, ,
所以
,
從而
,
令,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,
故,所以,
即當(dāng)時(shí), 面積取得最大值,且最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m, n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面, 給出下列四個(gè)命題:
①若m⊥α,n∥α,則m⊥n;; ②若α∥β, β∥r, m⊥α,則m⊥r;
③若m∥α,n∥α,則m∥n;; ④若α⊥r, β⊥r,則α∥β.
其中正確命題的序號是 ( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B.命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命題“若a=﹣1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn).
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點(diǎn)為,且直線與拋物線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC中,E,F(xiàn)分別為AB,AC邊的中點(diǎn),N為BC邊上一點(diǎn),且CN= BC,將△AEF沿EF折到△A′EF的位置,使平面A′EF⊥平面EF﹣CB,M為EF中點(diǎn).
(1)求證:平面A′MN⊥平面A′BF;
(2)求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (a>0,且a≠1).
①若a= ,則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>;
②若f(x)在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是 .
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【題目】已知直線過點(diǎn),圓:.
(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí),求直線的一般方程;
(2)若直線與圓相交,且弦長為,求直線的一般方程.
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩臺機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件,10天中,兩臺機(jī)床每天出的次品數(shù)分別如下圖所示。
甲 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 4 |
乙 | 2 | 3 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
從數(shù)據(jù)上看, ________________機(jī)床的性能較好(填“甲”或者“乙”).
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