Question

已知點(diǎn)P（4，4），橢圓E：

x2

18

+

y2

2

=1，橢圓上點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，Q為橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求

AP

•

AQ

取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（3

2

cosθ，

2

sinθ），則

AP

=（1，3），

AQ

=（3

2

cosθ-3，

2

sinθ-1），利用輔助角公式可得

AP

•

AQ

=3

2

cosθ-3+3

2

sinθ-3=6sin（θ+

π

4

）-6，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得

AP

•

AQ

取值范圍．

解答： 解：橢圓E：

x2

18

+

y2

2

=1的參數(shù)方程為：

x=3 2 cosθ y= 2 sinθ

，θ為參數(shù)，
故Q點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（3

2

cosθ，

2

sinθ），
又∵點(diǎn)P（4，4），點(diǎn)A（3，1），
∴

AP

=（1，3），

AQ

=（3

2

cosθ-3，

2

sinθ-1），
∴

AP

•

AQ

=3

2

cosθ-3+3

2

sinθ-3=6sin（θ+

π

4

）-6∈[-12，0]，
即

AP

•

AQ

取值范圍為[-12，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．