Question

18．已知x，y∈R⁺，滿足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，則y的最大值為$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 變形已知式子可得yx²+（y²-1）x+4y=0，問題等價于關(guān)于x的方程有正實數(shù)根，由△≥0和x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0可得y的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，滿足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，
∴變形可得yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵關(guān)于x的方程有正實數(shù)根，
∴△≥0，又x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0，∴x₁與x₂同號，
∴x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0可得（y²-1）²-16y²≥0，
分解因式可得（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，解得0＜y≤$\sqrt{5}$-2，
∴實數(shù)y的取值范圍是（0，$\sqrt{5}$-2]
故答案為：$\sqrt{5}$-2．

點評 本題考查不等式求式子的范圍，涉及一元二次方程的根的分布和一元二次不等式的解法，屬中檔題．