Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．點(diǎn)P（1，）、A、B在橢圓E上，且+=m（m∈R）．
（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）當(dāng)m=-3時(shí)，證明原點(diǎn)O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，
∴=及
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為；
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即
又，，
兩式相減得；
（2）由（1）知，點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）．即原點(diǎn)是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
又，，兩式相減得；
∴直線AB的方程為y+=（x+），即x+2y+2=0．
分析：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），利用橢圓的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，可求幾何量，從而可得橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，結(jié)合點(diǎn)差法，即可求得直線AB的斜率；
（2）證明△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）即可，確定AB中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)差法求直線AB的斜率，即可求得直線AB的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求直線的斜率，正確運(yùn)用橢圓方程是關(guān)鍵．