Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=f（x）+f（x+2）．
（Ⅰ）當a=-1時，解不等式：f（x）≥4-|2x-1|；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤1的解集為[0，2]，求證：g（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=-1的值代入，通過討論x的范圍，去掉絕對值號，求出不等式的解集取并集即可；
（Ⅱ）求出a=1，從而求出f（x）的表達式，問題轉化為證明g（x）=f（x）+f（x+2）≥2即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，不等式|x+1|+|2x-1|≥4，
當x≤-1時，原不等式化為-x-1-2x+1≥4，解之得$x≤-\frac{4}{3}$．…（1分）
當$-1＜x≤\frac{1}{2}$時，原不等式化為x+1-2x+1≥4，解之得x≤-2，不滿足，舍去．…（2分）
當$x＞\frac{1}{2}$時，原不等式化為x+1+2x-1≥4，解之得$x≥\frac{4}{3}$．…（3分）
原不等式的解集為$\left\{{x\left|{x≤-\frac{4}{3}或x≥\frac{4}{3}}\right.}\right\}$；…（4分）
（Ⅱ）證明：f（x）≤1即|x-a|≤1，解得a-1≤x≤a+1，而f（x）≤1的解集為[0，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.$，解得a=1，從而f（x）=|x-1|．…（6分）
于是只需證明g（x）=f（x）+f（x+2）≥2．
即證|x-1|+|x+1|≥2．…（8分）
因為|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2．
所以g（x）≥2．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．