Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{

1

an

+(-1)n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an2

，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：對(duì)?n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式取倒數(shù)，得到

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，然后配方得到數(shù)列{

1

an

+(-1)n}為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

an2

，然后利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案；
（3）化簡(jiǎn)sin

(2n-1)π

2

=（-1）ⁿ，得到c_n=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

，先利用放縮法證明當(dāng)n≥3時(shí)
T_n＜

4

7

，然后結(jié)合T₁＜T₂＜T₃得答案．

解答： （1）證明：∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

，∴

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是首項(xiàng)為3，公比為-2的等比數(shù)列，

1

an

+(-1)n=3•(-2)n-1，即an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

；
（2）解：b_n=

1

an2

=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
Sn=9(40+41+…+4n-1)+6(20+21+…+2n-1)+n
=9•

1-4n

1-4

+6•

1-2n

1-2

+n=Sn=3•4n+6•2n+n-9；
（3）證明：∵sin

(2n-1)π

2

=（-1）ⁿ，
∴c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

，
當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

4

7

，
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對(duì)?n∈N^*，T_n＜

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的和，等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，是壓軸題．