分析:(1)求出f′(x),因為x1、x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點,而x1=-1,x2=2所以得到f′(-1)=0,f′(2)=0代入求出a、b即可得到函數(shù)解析式;
(2)因為x1、x2是導函數(shù)f′(x)=0的兩個根,利用根與系數(shù)的關系對已知進行變形得到a和b的等式,求出b的范圍,設h(a)=3a2(6-a),求出其導函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性得到h(a)=的極大值,開方可得b的最大值.
解答:解:(1)f'(x)=3ax
2+2bx-a
2(a>0).
∵x
1=-1,x
2=2是函數(shù)f(x)的兩個極值點,
∴f'(-1)=0,f'(2)=0.
∴3a-2b-a
2=0,12a+4b-a
2=0,
解得a=6,b=-9.
∴f(x)=6x
3-9x
2-36x…(4分)
(2)∵x
1,x
2是函數(shù)f(x)的兩個極值點,
∴f'(x
1)=f'(x
2)=0.
∴x
1,x
2是方程3ax
2+2bx-a
2=0的兩根.
∴
x1+x2=-,
x1•x2=-,
∵△=4b
2+12a
3,
∴△>0對一切a>0,b∈R恒成立.
∵a>0,∴x
1•x
2<0.
∴
|x1|+|x2|=|x1-x2|==.
由
|x1|+|x2|=2得
=2,
∴b
2=3a
2(6-a).
∵b
2≥0,
∴3a
2(6-a)≥0,
∴0<a≤6…(8分)
令h(a)=3a
2(6-a),則h'(a)=-9a
2+36a.
當0<a<4時,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)內(nèi)是增函數(shù);
當4<a<6時,h′(a)<0,∴h(a)在(4,6)內(nèi)是減函數(shù).
∴當a=4時,h(a)有極大值為96,
∴h(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值是
4…(12分)
點評:本題以函數(shù)為載體,考查學生會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,解題的關鍵是正確理解極值的含義.