Question

（2013•西城區(qū)二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩定點(diǎn)A（1，0），B（1，1）．動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

則點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域的面積是

2

；點(diǎn)Q（x+y，x-y）構(gòu)成的區(qū)域的面積是

4

．

Answer 1

分析：由題意可得 

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，畫(huà)出可行域?yàn)椋褐苯翘菪蜲ABD及其內(nèi)部區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得直角梯形OABD的面積．
設(shè)點(diǎn)Q（s，t），則x+y=s，x-y=t，可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，點(diǎn)Q的可行域?yàn)橹苯侨�角形OMN及其內(nèi)部區(qū)域，數(shù)形結(jié)合
求得點(diǎn)Q（s，t）構(gòu)成的區(qū)域的面積．

解答：解：由題意可得

0≤ OP • OA ≤1 0≤ OP • OB ≤2.

，即

0≤x≤1 0≤x+y≤2

，
畫(huà)出可行域?yàn)椋浩叫兴倪呅蜲ABD及其內(nèi)部區(qū)域，其中D（0，2），E（1，0），
故點(diǎn)P構(gòu)成的區(qū)域的面積是OD×QE=2×1=2．

設(shè)點(diǎn)Q（s，t），則x+y=s，x-y=t，即

x= s+t 2 y= s-t 2

．  再由

0≤x≤1 0≤x+y≤2

 可得

0≤s+t≤2 0≤s≤2

，
∴點(diǎn)Q的可行域?yàn)槠叫兴倪呅蜲RMN及其內(nèi)部區(qū)域，如圖所示：M（2，0）、N（0，2），
故點(diǎn)Q（s，t）構(gòu)成的區(qū)域的面積是2×S_△OMN=2×

1

2

•OM•ON=2×

1

2

×2×2=4，


故答案為2，4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．