Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程N的兩根,且.

(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;

(2) 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 問是否存在常數(shù),使得對任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），。（2）。

【解析】

試題分析：(1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,

∴

由,得, 

故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

∴, 即. 所以。

(2)

.、

要使對任意N都成立,

即(*)對任意N都成立.

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí), 由(*)式得,

即,∵, ∴對任意正奇數(shù)都成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 有最小值.      ∴.

② 當(dāng)為正偶數(shù)時(shí), 由(*)式得,

即,∵,∴對任意正偶數(shù)都成立.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 有最小值. ∴.            ……12分 

綜上所述, 存在常數(shù),使得對任意N都成立, 的取值范圍是.

考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列前n項(xiàng)和的求法。

點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于常規(guī)題型。第二問主要體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難點(diǎn)。若已知遞推式的形式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般來說要在原遞推式兩邊同除以來構(gòu)造。