Question

8．曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在點(diǎn)P（a，b）處的切線為L，若直線L與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，則△OAB的周長的最小值為4$+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在點(diǎn) P（a，b）處的切線方程，得到直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，由勾股定理求得第三邊，作和后利用基本不等式求最值．

解答 解：由y=$\frac{1}{x}$，得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則$y′{|}_{x=a}=-\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在點(diǎn)P（a，b）處的切線方程為：y-$\frac{1}{a}$=$-\frac{1}{{a}^{2}}（x-a）$．
整理得：x+a²y-2a=0．
取y=0，得：x=2a，取x=0，得y=$\frac{2}{a}$．
∴|AB|=$\sqrt{4{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$=2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$．
∴△OAB的周長為|2a|+|$\frac{2}{a}$|+2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$=2（$a+\frac{1}{a}$）+2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$（a＞0）
≥2×2a$•\frac{1}{a}$+2$\sqrt{2{a}^{2}•\frac{1}{{a}^{2}}}$=4+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)上式等號成立．
故答案為：$4+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．