Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²-m²x+1（m為常數(shù)，且m＞0）有極大值9，求m的值及f（x）的極小值．

Answer 1

解：求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²+2mx-m²=（x+m）（3x-m）=0，則x=-m或x=m，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

從而可知，當(dāng)x=-m時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x=m時(shí)，有極小值
∵函數(shù)f（x）取得極大值9，
∴f（-m）=-m³+m³+m³+1=9，解得m=2．
∴函數(shù)的解析式為f（x）=x³+2x²-4x+1
當(dāng)x=m時(shí)，有極小值．
分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，得出導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況的表格，求出極大值，列出方程求出m的值，進(jìn)而可求f（x）的極小值．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟：求出導(dǎo)數(shù)；令導(dǎo)數(shù)為0求出根；列出表格判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)；求出極值．