Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)M在直線上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)a_n=，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c、m，使得不等式成立，求c和m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出，．利用=．求出x₁+x₂的值，再用求出y₁+y₂的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，，化簡(jiǎn)S_n=+++，可求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，利用a_n=，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求出T_n的表達(dá)式，
結(jié)合不等式，推出c，m的范圍，正整數(shù)c、m，可得c和m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M在直線x=上，設(shè)M．又=，
即，，
∴x₁+x₂=1．（2分）
①當(dāng)x₁=時(shí)，x₂=，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②當(dāng)x₁≠時(shí)，x₂≠，
y₁+y₂=+=
==；
綜合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=-2．
∴，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2時(shí)，S_n=+++，①
S_n=，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），則S_n=1-n．
n=1時(shí)，S₁=0滿足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．（10分）
（Ⅲ）a_n==2^1-n，T_n=1++=.??．T_m+1=2-，2T_m-T_m+1=-2+=2-，
∴，c、m為正整數(shù)，
∴c=1，
當(dāng)c=1時(shí)，，
∴1＜2^m＜3，
∴m=1．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，相等向量與相反向量，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．