Question

3．已知關于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，其中a，b∈R．
（I）若a隨機選自集合{0，1，2，3，4}，b隨機選自集合{0，1，2，3}，求方程有實根的概率；
（Ⅱ）若a隨機選自區(qū)間[0，4]，b隨機選自區(qū)間[0，3]，求方程有實根的概率．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)判別式△≥0得出一元二次方程有實根的條件為事件A，
由a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，列出基本事件數(shù)，計算對應的概率即可；
（II）利用幾何概型求出對應的概率即可．

解答 解：（I）設“關于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0有實根”為事件A，
由△=（-2a）²-4b²≥0，得a²≥b²；
因為a≥0，b≥0，
所以a≥b時事件A發(fā)生；
又a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，
所以它的基本事件共20個：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）
且事件A包含的基本事件有14個：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）
所以P（A）=$\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$；（5分）
（II）因為a∈[0，4]，b∈[0，3]，
則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，
Ω的面積為μ_Ω=3×4=12；（6分）
事件A所構成的區(qū)域A={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，
A的面積為${μ_A}=3×4-\frac{1}{2}×3×3=\frac{15}{2}$，如圖所示；（8分）
所以P（A）=$\frac{μ_A}{μ_Ω}=\frac{{\frac{15}{2}}}{12}=\frac{5}{8}$．（9分）

點評 本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，也考查了幾何概型的應用問題，是基礎題目．