Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，區(qū)間M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、無數(shù)多個(gè)

Answer 1

分析：由題設(shè)知對(duì)于集合N中的函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，對(duì)應(yīng)的f（x）的值域?yàn)镹=M=[a，b]．由函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，知f（x）是增函數(shù)．故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，由此能導(dǎo)出使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵x∈M，M=[a，b]，
則對(duì)于集合N中的函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，
對(duì)應(yīng)的f（x）的值域?yàn)镹=M=[a，b]．
又∵f(x)=

2x

1+|x|

=

2- 2 1+x     (x≥0) -2+ 2 1-x   (x＜0)

，
故當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，
由N=M=[a，b]得

a=0 b=1

或

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合相等的概念，解題時(shí)要注意絕對(duì)值的性質(zhì)和應(yīng)用．