【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(2b﹣a)cosC=ccosA.
(1)求角C的大。
(2)若sinA+sinB=2 sinAsinB,c=3,求△ABC的面積.
【答案】
(1)解:由于(2b﹣a )cosC=ccosA,由正弦定理得(2sinB﹣sinA)cosC=sinCcosA,
即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosC=sin(A+C),可得:2sinBcosC=sinB,
因?yàn)閟inB≠0,所以cosC= ,
因?yàn)?<C<π,所以C=
(2)解:設(shè)△ABC外接圓的半徑為R 由題意得2R= =2 ,
由sinA+sinB=2 sinAsinB得,2R(a+b)=2 ab,即a+b= ab,①
由余弦定理得,a2+b2﹣ab=9,即(a+b)﹣3ab﹣9=0,②
將①式代入②得2(ab)2﹣3ab﹣9=0,解得 ab=3或ab=﹣ (舍去),
所以S△ABC= absinC=
【解析】(1)由正弦定理化簡已知等式可得:(2sinB﹣sinA)cosC=sinCcosA,利用三角形內(nèi)角和定理整理可得2sinBcosC=sinB,由sinB≠0,解得cosC= ,結(jié)合范圍0<C<π,可求C的值.(2)設(shè)△ABC外接圓的半徑為R 由題意得2R= =2 ,由sinA+sinB=2 sinAsinB得a+b= ab,由余弦定理得(a+b)﹣3ab﹣9=0,聯(lián)立解得ab的值,利用三角形面積公式即可得解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí),掌握正弦定理:,以及對(duì)余弦定理的定義的理解,了解余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本小題12分)
調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地調(diào)查500位老年人,結(jié)果如下:
性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
①估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。
②能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)單位向量 對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ都有| + |≤| ﹣λ |成立,則向量 的夾角為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D為棱AC的中點(diǎn),側(cè)面A1ACC1為邊長為2的菱形,AC⊥CB,BC=1.
(1)證明:AC1⊥平面A1BC;
(2)求三棱錐B﹣A1B1C的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若將函數(shù)f(x)=sin(2x+ )的圖象向右平移個(gè)單位長度,可以使f(x)成為奇函數(shù),則的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形和內(nèi)接于同一個(gè)直角三角形ABC中,如圖所示,設(shè),若兩正方形面積分別為=441,=440,則=______
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=(﹣1)nan﹣ ,n∈N* , 則
①a3=;
②S1+S2+…+S100= .
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