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【題目】已知函數.

（1）設，（其中是的導數），求的最小值；

（2）設，若有零點，求的取值范圍.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求導數，得，對再求導，由導數單調性得最小值；

（2）由（1）知，因此在時，無零點，在時把函數整理為的函數：，因，，故是的減函數，再分類討論，，

，令，利用導數知識說明函數無零點，有一個零點，時，用零點存在定理說明函數有零點．為此只要證明，即可．

解：（1），，定義域為

，時，，單減；時，，單增

．

（2）①故當時，由（1）知，故單增，當時，；當時，，，故；而，故時，，此時無解；

，因，，故是的減函數

②當時，，

令，顯然，，

，函數單調遞增

又，故時，，單減；時，，單增，故，，此時無解；

③當時，，此時，即有零點；

④當時，，令有，下證存在使得，

，令，

令，則

，而，只需

記，單增，，故單增

，故存在，使得，由前，故在有解.

綜上所述，當時，有零點

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數上任意一點處的切線，在其圖像上總存在異與點A的點，使得在B點處的切線滿足，則稱函數具有“自平行性”.下列有關函數的命題：

①函數具有“自平行性”；②函數具有“自平行性”；

③函數具有“自平行性”的充要條件為實數；

④奇函數不一定具有“自平行性”；⑤偶函數具有“自平行性”.

其中所有敘述正確的命題的序號是（ ）

A.①③④B.①④⑤C.②③④D.①②⑤

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為、、，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.

（1）求出線段AE的長度；

（2）求出隧道CD的長度.

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【題目】已知動點到點的距離與它到直線的距離的比值為,設動點形成的軌跡為曲線..

（1）求曲線的方程;

（2）過點的直線與曲線交于兩點,過點作,垂足為，過點作,垂足為,求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（，為參數），曲線的參數方程為（為參數），直線與曲線交于，兩點.

（1）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程；

（2）若，點，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）當時，證明：；

（2）若在上有且只有一個零點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；

（2）若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；

（3）若規(guī)定分數在為“良好”,為“優(yōu)秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數為“良好”或“優(yōu)秀”的人數為X,求X的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線（為參數），將曲線上所有點橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到曲線，過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點．

（1）求曲線的參數方程和的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】(本小題滿分12分)

已知函數（其中a是實數）．

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若設，且有兩個極值點 ，求取值范圍．（其中e為自然對數的底數）．

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