Question

（2012•陜西）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A A₁，∠CAB=

π

2

（Ⅰ）證明：CB₁⊥BA₁；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=

5

，求三棱錐C₁-ABA₁的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AB₁，根據(jù)ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB₁A₁，結(jié)合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB₁A₁，從而有AC⊥BA₁，再在正方形ABB₁A₁中得到AB₁⊥BA₁，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，得到BA₁⊥平面ACB₁，所以CB₁⊥BA₁；
 （II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC=

BC2-AB2

=1，又因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1且AC⊥平面ABB₁A₁，得到A₁C₁是三棱錐C₁-ABA₁的高，且它的長度為1．再根據(jù)正方形ABB₁A₁面積得到△ABA₁的面積，最后根據(jù)錐體體積公式，得到三棱錐C₁-ABA₁的體積為

2

3

．

解答：解：（I）連接AB₁，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
又∵平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵BA₁?平面ABB₁A₁，∴AC⊥BA₁，
∵矩形ABB₁A₁中，AB=AA₁，
∴四邊形ABB₁A₁是正方形，
∴AB₁⊥BA₁，
又∵AB₁、CA是平面ACB₁內(nèi)的相交直線，
∴BA₁⊥平面ACB₁，
∵CB₁?平面ACB₁，∴CB₁⊥BA₁；
 （II）∵AB=2，BC=

5

，
∴Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=1
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1
又∵AC∥A₁C₁，AC⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁是三棱錐C₁-ABA₁的高．
∵△ABA₁的面積等于正方形ABB₁A₁面積的一半
∴S△ABA1=

1

2

AB²=2
三棱錐C₁-ABA₁的體積為V=

1

3

×S△ABA1×A₁C₁=

2

3

．

點評：本題根據(jù)底面為直角三角形的直三棱柱，證明線面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查了直線與平面垂直的性質(zhì)與判定和錐體體積公式等知識點，屬于中檔題．