已知函數(shù)y=sin
x
2
+
3
cos
x
2
，x∈R．
（1）求該函數(shù)的周期；
（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．
分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡y=sin
x
2
+
3
cos
x
2
的解析式為2sin(
x
2
+
π
3
)，由此可得函數(shù)的周期．
（2）再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性以及圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
解答：解：（1）由于y=sin
x
2
+
3
cos
x
2
=2sin(
x
2
+
π
3
)，…（2分）
可得該函數(shù)的周期為 T=
2π
1
2
=4π．…（4分）
（2）把函數(shù)y=2sin[
1
2
（x+
2π
3
）]的圖象向右平移
2π
3
個單位可得函數(shù)y=2sin
1
2
x的圖象，再把所得函數(shù)圖象上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="pnt9nnf" class="MathJye">
1
2
倍，
即可得到到y(tǒng)=2sinx（x∈R）的圖象，再把這個新得的函數(shù)圖象上點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="vztrllp" class="MathJye">
1
2
倍，即可得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性以及圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x求它的最大、最小值，并指明函數(shù)取最大、最小值時相應(yīng)x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+
3
cosx．
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx在點(
π
3
，
3
2
)的切線與y=log2x在點A處的切線平行，則點A的橫坐標是
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+cosx，給出下列四個命題：
（1）若x∈[0，
π
2
]，則y∈(0，
2
]；
（2）直線x=-
3π
4
是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（3）在區(qū)間[
π
4
，
5π
4
]上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù)；
（4）函數(shù)y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx的圖象向右平移
π
4
個單位而得到．其中正確命題的序號是
（2）（3）
（2）（3）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2
2
sinxcosx，則下列結(jié)論中，正確的序號是
③
③
．
①兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點（-
π
4
，0）成中心對稱；
②兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-
π
4
成軸對稱；
③兩函數(shù)在區(qū)間（-
π
4
，
π
4
）上都是單調(diào)增函數(shù)； 
④兩函數(shù)的最小正周期相同．

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