Question

某市將建一個(gè)制藥廠，但該廠投產(chǎn)后預(yù)計(jì)每天要排放大約80噸工業(yè)廢氣，這將造成極大的環(huán)境污染．為了保護(hù)環(huán)境，市政府決定支持該廠貸款引進(jìn)廢氣處理設(shè)備來減少廢氣的排放：該設(shè)備可以將廢氣轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品和符合排放要求的氣體．
經(jīng)測算，制藥廠每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本y（元）與廢氣處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：y=

40x+1200，    0＜x＜40 2x2-100x+5000，40≤x≤80

，且每處理1噸工業(yè)廢氣可得價(jià)值為80元的某種化工產(chǎn)品并將之利潤全部用來補(bǔ)貼廢氣處理．
（1）若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為20噸時(shí)，那么工廠需要每天投入的廢氣處理資金為多少元？
（2）若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為x噸，且工廠不用投入廢氣處理資金就能完成計(jì)劃的處理量，求x的取值范圍；
（3）若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為x（40≤x≤80）噸，且市政府決定為處理每噸廢氣至少補(bǔ)貼制藥廠a元以確保該廠完成計(jì)劃的處理量總是不用投入廢氣處理資金，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)投入資金=成本-利潤，即可列式求解；
（2）根據(jù)投入資金=成本-利潤，若不用投入資金，則有yx≥0，即可列出不等式，求解即可得到答案；
（3）根據(jù)題意可知，當(dāng)40≤x≤80時(shí)，不等式80x+ax-（2x²-100x+5000）≥0恒成立，令g（x）=2x²-（180+a）x+5000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，求解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)廢棄處理量x滿足0＜x＜40時(shí)，每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本y=40x+1200，
∴當(dāng)該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃為20噸，即x=20時(shí)，
每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本為y=40×20+1200=2000元，
又∵轉(zhuǎn)化的某種化工產(chǎn)品可得利潤為80×20=1600元，
∴工廠每天需要投入廢氣處理資金為400元；
（2）由題意可知，y=

40x+1200，    0＜x＜40 2x2-100x+5000，40≤x≤80

，
①當(dāng)0＜x＜40時(shí)，令80x-（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，
②當(dāng)40≤x≤80時(shí)，令80x-（2x²-100x+5000）≥0，即2x²-180x+5000≤0，
∵△=180²-4×2×5000＜0，
∴x無解．
綜合①②，x的取值范圍為30≤x＜40，
故當(dāng)該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃為[30，40）噸時(shí)，工廠可以不用投入廢氣處理資金就能完成計(jì)劃的處理量；
（3）∵當(dāng)40≤x≤80時(shí)，投入資金為80x-（2x²-100x+5000），
又∵市政府為處理每噸廢氣補(bǔ)貼a元就能確保該廠每天的廢氣處理不需要投入資金，
∴當(dāng)40≤x≤80時(shí)，不等式80x+ax-（2x²-100x+5000）≥0恒成立，
即2x²-（180+a）x+5000≤0對(duì)任意x∈[40，80]恒成立，
令g（x）=2x²-（180+a）x+5000，
則有

g(40)≤0 g(80)≤0

，即

2×402-(180+a)×40+5000≤0 2×802-(180+a)×80+5000≤0

，即

a≥25 a≥ 85 2

解得a≥

85

2

，
答：市政府只要為處理每噸廢氣補(bǔ)貼

85

2

元就能確保該廠每天的廢氣處理不需要投入資金．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．