Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）
（1）當t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（2）當0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）當0＜a＜1，存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將t=4代入F（x），求出其定義域，先判斷其為增函數(shù)，根據(jù)題意函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，列出等式，求a的值；
（2）當0＜a＜1時，若f（x）≥g（x）對x∈[1，2]恒成立，即loga

x

≥log_a（2x+t-2）對x∈[1，2]恒成立，即

x

≤2x+t-2對x∈[1，2]恒成立，即t≥

x

-2x+2對x∈[1，2]恒成立，求出當x∈[1，2]時，y=

x

-2x+2的最大值，可得答案；
（3）當0＜a＜1時，若存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，即

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]上有解，即t≥

x

-2x+2在x∈[1，2]上有解，求出當x∈[1，2]時，y=

x

-2x+2的最小值，可得答案；

解答： 解：（1）由題意，t=4時，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）=log_a

(2x+2)2

x

，x∈[1，2]，
令h（x）=

(2x+2)2

x

=4（x+

1

x

+2），
由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：y=x+

1

x

在[1，2]上為增函數(shù)，
∴x+

1

x

∈[2，

5

2

]，
∴h（x）∈[16，18]，
當0＜a＜1時，F(xiàn)（x）的最小值為：log_a18=2，解得a=3

2

（舍去），
當a＞1時，F(xiàn)（x）的最小值為：log_a16=2，解得a=4
（2）當0＜a＜1時，
∵f（x）≥g（x）對x∈[1，2]恒成立，
∴loga

x

≥log_a（2x+t-2）對x∈[1，2]恒成立，
即

x

≤2x+t-2對x∈[1，2]恒成立，
即t≥

x

-2x+2對x∈[1，2]恒成立，
當x∈[1，2]時，y=

x

-2x+2=-2（

x

-

1

4

）²+

17

8

，在x=1時取最大值1，
故t≥1；
（3）當0＜a＜1時，
存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，
即

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]上有解，
即t≥

x

-2x+2在x∈[1，2]上有解，
當x∈[1，2]時，y=

x

-2x+2=-2（

x

-

1

4

）²+

17

8

在x=2時取最小值

2

-2，
故t≥

2

-2；

點評：此題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的過程中利用到了轉(zhuǎn)化的思想，考查的知識點比較大，是一道難題；