Question

已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=.

(1)當(dāng)n∈N^*時,求f(n)的表達式;

(2)設(shè)a_n=n·f(n),n∈N^*,求證:a₁+a₂+a₃+…+a_n<2;

(3)設(shè)b_n=(9-n),n∈N^*,S_n為{b_n}的前n項和,當(dāng)S_n最大時,求n的值.

Answer 1

 (1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n),

∴{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,

∴f(n)=()ⁿ.

(2)證明:設(shè)T_n為{a_n}的前n項和,

∵a_n=n·f(n)=n·()ⁿ,

∴T_n=+2×()²+3×()³+…+n×()ⁿ,

T_n=()²+2×()³+3×()⁴+…+(n-1)×()ⁿ+n×()ⁿ⁺¹,

兩式相減得T_n=+()²+…+()ⁿ-n×()ⁿ⁺¹,

∴T_n=2-()^n-1-n×（）ⁿ<2.

(3)解:∵f(n)=（）ⁿ,

∴b_n=(9-n)=(9-n)=,

∴當(dāng)n≤8時,b_n>0;

當(dāng)n=9時,b_n=0;

當(dāng)n>9時,b_n<0.

∴當(dāng)n=8或9時,S_n取得最大值.