【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,一條準(zhǔn)線方程是,點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線交直線于點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值;
(3)若,求直線斜率的取值范圍。
【答案】(1);(2)見解析;(3)。
【解析】
(1)由橢圓的準(zhǔn)線方程和右焦點(diǎn)可得a,c,再解出b即可;(2)由A(﹣2,0),B(2,0),設(shè)P,直線PB的方程為,代入橢圓方程求得P的坐標(biāo),從而得M點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用直線的斜率公式求出,,化簡計算可得定值;(3)由=0,可得AP⊥AQ,即kAQkAQ=﹣1,設(shè)AP:,代入橢圓方程3x2+4y2=12,解方程求得P的坐標(biāo),將k換為﹣可得Q的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得R的坐標(biāo),再由直線的斜率公式,結(jié)合換元法和基本不等式即可得到所求范圍.
(1)設(shè)橢圓焦距為,∵右焦點(diǎn)為,∴,
∵一條準(zhǔn)線方程是,∴,∴.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)設(shè),則∵,∴,
又,∴直線
又,∴,
∴。
(3)設(shè)直線,代入,
消去整理得 ,
由,得,,
∵,∴直線,
同理可得 ,
∵點(diǎn)為的中點(diǎn),∴, 又,
∴,
設(shè),則,∴,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
∵或,∴或,
綜上可知直線斜率的取值范圍是。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R.
(1)若函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值,并求取的最小值時x的取值范圍;
(2)若g(x)= 的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)f(x)= x3+x2﹣ax+3a在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)證明函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);
(2)若x∈[0,2],求函數(shù)f(x)的值域.
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【題目】三棱錐D﹣ABC及其正視圖和側(cè)視圖如右圖所示,且頂點(diǎn)A,B,C,D均在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.32π
B.36π
C.128π
D.144π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:﹣5﹣f(x1)<f(x2)<﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,AB=4,AA1=6,若E,F(xiàn)分別是棱BB1 , CC1上的點(diǎn),且BE=B1E,C1F= CC1 , 則異面直線A1E與AF所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)對于任意實數(shù)x,不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立. (I) 求m 的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)m取最大值時,解關(guān)于x的不等式:|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線方程為x+1=0,直線l過點(diǎn)T(t,0)(t>0)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線方程,并證明: 的值與直線l傾斜角的大小無關(guān);
(2)若P為拋物線上的動點(diǎn),記|PT|的最小值為函數(shù)d(t),求d(t)的解析式.
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