Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，一條準(zhǔn)線方程是，點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線交直線于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；

（3）若，求直線斜率的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）。

【解析】

（1）由橢圓的準(zhǔn)線方程和右焦點(diǎn)可得a，c，再解出b即可；（2）由A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P，直線PB的方程為，代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，從而得M點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用直線的斜率公式求出，，化簡(jiǎn)計(jì)算可得定值；（3）由＝0，可得AP⊥AQ，即kAQkAQ＝﹣1，設(shè)AP：，代入橢圓方程3x2+4y2＝12，解方程求得P的坐標(biāo)，將k換為﹣可得Q的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得R的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，結(jié)合換元法和基本不等式即可得到所求范圍．

（1）設(shè)橢圓焦距為，∵右焦點(diǎn)為，∴，

∵一條準(zhǔn)線方程是，∴，∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，則∵，∴，

又，∴直線，∴ ，

又，∴，

∴。

（3）設(shè)直線，代入，

消去整理得 ，

由，得，，

∵，∴直線，

同理可得 ，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴， 又，

∴，

設(shè)，則，∴，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∵或，∴或，

綜上可知直線斜率的取值范圍是。