Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(

1

2

)x圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a_n=n（n為正整數(shù)），過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實數(shù)t，使c_n≤t對一切正整數(shù)n恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點在圖象上，則有bn=(

1

2

)an，由等比數(shù)列的定義，則有

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d從而得到結(jié)論．
（Ⅱ）有a_n=n，則有bn=(

1

2

)n，則由Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，其斜率kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，求得直線P_nP_n+1的方程為，再分別求得與坐標(biāo)軸的交點，建立面積模型cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，再由作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，從而解得t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常數(shù)），（3分）
所以，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，則bn=(

1

2

)n，
∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，（6分）
直線P_nP_n+1的方程為y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，（7分），
它與x軸，y軸分別交于點A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴數(shù)列{c_n}隨n增大而減小∴cn≤c1=

9

8

，即最小的實數(shù)t的值為

9

8

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了點與曲線的關(guān)系，數(shù)列的定義，及函數(shù)模型的建立與解決．