Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）．
（1）求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，函數(shù)f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為$\frac{1}{2}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2cos（2x+）+3，易得周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）求得函數(shù)f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，利用三角函數(shù)的誘導公式進行化簡，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值，即可求得結果．

解答 解：（1）因為f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
所以周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得單調(diào)減區(qū)間為：[k$π+\frac{3π}{8}$，k$π+\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（2）因為f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=λ$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{λ}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）]，
因為x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，
所以2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]，
當λ＞0時，fmax（x）=$\frac{λ}{2}$（1+1）=$\frac{1}{2}$，即λ=$\frac{1}{2}$，
當λ＜0時，fmax（x）=$\frac{λ}{2}$（1-$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$，即λ=-1-$\sqrt{2}$，
所以λ=$\frac{1}{2}$或λ=-1-$\sqrt{2}$．

點評 此題是個中檔題．考查向量的數(shù)量積的坐標運算，和三角函數(shù)的誘導公式和三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值等基礎知識，同時也考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．