Question

給定四個命題：
①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，則方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)有唯一的實數(shù)根．
②若f（x）在其定義域內(nèi)可導，且導函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)，則f（x）是偶函數(shù)．
③若函數(shù)f（x）在[1，4]上連續(xù)，則f（x）在[1，4]上必有最大值與最小值．
④若函數(shù)y=f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，又關于點B（3，0）對稱，那么f（x）為周期函數(shù)．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：對于①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，根據(jù)零點存在定理可知正確；②若f（x）在其定義域內(nèi)可導，且導函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)，則其原函數(shù)f（x）一定是偶函數(shù)；③若函數(shù)f（x）在[1，4]上連續(xù)，根據(jù)最值定理可得正確；④若f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，則f（-x）=-f（2+x），由圖象關于點B（3，0）對稱，f（-x）=-f（6+x）可推出f（x）是以4a為周期的函數(shù)．

解答：解：①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，根據(jù)零點存在定理可知，方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)有唯一的實數(shù)根．故正確；
②若f（x）在其定義域內(nèi)可導，且導函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)，則其原函數(shù)f（x）一定是偶函數(shù)．故正確；
③若函數(shù)f（x）在[1，4]上連續(xù)，根據(jù)最值定理可得：f（x）在[1，4]上必有最大值與最小值．故正確；
④若f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，則f（-x）=-f（2+x），
由圖象關于點B（3，0）對稱，f（-x）=-f（6+x），∴f（6+x）=f（2+x）⇒f（4+x）=f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a為周期的函數(shù)．故正確．
其中真命題的序號是 ①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)的周期性等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．