Question

10．已知不等式（x+2）（x+1）＜0，的解集為{x|a＜x＜b}，若點A（a，b）在直線mx+ny+1=0上（m，n均為正實數(shù)），則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得正數(shù)m、n滿足2m+n=1，代入可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵不等式（x+2）（x+1）＜0的解集為{x|a＜x＜b}，
∴a=-2，b=-1，
又∵點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上（m，n均為正實數(shù)），
∴正數(shù)m、n滿足-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且n=$\sqrt{2}$-1時取等號．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．