Question

12．求函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 將函數(shù)y變形，可知y的幾何意義就是在x軸上的點(diǎn)P（x，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距離之和，顯然當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線且P在AB之間時(shí)y有最小值，計(jì)算即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，
∴y就是在x軸上的點(diǎn)P（x，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距離之和，
∴當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線且P在AB之間時(shí)y有最小值，
∵點(diǎn)A、B分別在x軸兩側(cè)，
∴只需求出直線AB和x軸的交點(diǎn)即可，
又直線AB方程為：$\frac{y+1}{x-1}=\frac{3+1}{2-1}$，即4x-y-5=0，
令y=0，得x=$\frac{5}{4}$，即點(diǎn)P（$\frac{5}{4}$，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距離之和最小，
此距離即為AB=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
即當(dāng)x=$\frac{5}{4}$時(shí)，y_min=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)表示的幾何意義，通過(guò)變形建立函數(shù)與兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．