Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁=AC=BC=2，D、E、F分別是AB、AA₁、CC₁的中點(diǎn)，P是CD上的點(diǎn)．
（1）求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求證：直線PE∥平面A₁BF；
（3）求直線PE與平面A₁BF的距離．

Answer 1

分析：（1）PE在平面ABC內(nèi)的射影為AP，則∠EPA為PE與平面ABC所成角的平面角，當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，AP最短，由此可求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）證明平面EDC∥平面A₁BF，即可證明直線PE∥平面A₁BF；
（3）直線PE與平面A₁BF的距離等于兩平行平面EDC與平面A₁BF的距離，即點(diǎn)A₁到平面EDC的距離，亦即A到平面EDC的距離，利用V_A-EDC=V_E-CAD，可求直線PE與平面A₁BF的距離．

解答：（1）解：由題意，PE在平面ABC內(nèi)的射影為AP，則∠EPA為PE與平面ABC所成角的平面角，且tan∠EPA=

AE

AP

當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，AP最短，此時(shí)tan∠EPA=

AE

AD

=

1

2

=

2

2

∴直線PE與平面ABC所成角正切值的最大值為

2

2

      …（4分）
（2）證明：如圖所示，連接DE、CE，
∵D、E、F分別是所在棱的中點(diǎn)，
∴DE∥A₁B，A₁E∥CF
∴EC∥A₁F
∵DE∩EC=E，A₁B∩A₁F=A₁，
∴平面EDC∥平面A₁BF
∵PE?平面EDC，
∴直線PE∥平面A₁BF；…（8分）
（3）解：由（2）可知，直線PE與平面A₁BF的距離等于兩平行平面EDC與平面A₁BF的距離，即點(diǎn)A₁到平面EDC的距離，亦即A到平面EDC的距離．
設(shè)A到平面EDC的距離為h，又CD⊥AB，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面A₁ABB₁
∴ED?平面A₁ABB₁，
∴CD∥ED
∴△CED為直角三角形．
由V_A-EDC=V_E-CAD，得

1

3

•

1

2

•DE•CD•h=

1

3

•

1

2

•AD•CD•AE
∴h=

AD•AE

DE

=

6

3

   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面角，考查線面平行，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．