Question

如圖所示的數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，他們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為

1

n

(n≥2)，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，
如：

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

…，則第n（n≥3）行第3個數字是

2

n×(n-1)×(n-2)

．

Answer 1

分析：根據“萊布尼茲調和三角形”的特征，每個數是它下一個行左右相鄰兩數的和，得出將楊暉三角形中的每一個數C_n^r都換成分數 

1

(n+1) C r n

，就得到一個如圖所示的分數三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3個數字．

解答：解：將楊暉三角形中的每一個數C_n^r都換成分數 

1

(n+1) C r n

，就得到一個如圖所示的分數三角形，即為萊布尼茲三角形．
∵楊暉三角形中第n（n≥3）行第3個數字是C_n-1²，
則“萊布尼茲調和三角形”第n（n≥3）行第3個數字是

1

n C 2 n-1

=

2

n×(n-1)×(n-2)

．
故答案為：

2

n×(n-1)×(n-2)

．

點評：本題考查歸納推理、通過觀察分析歸納各數的關系，據關系求出各值，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．