Question

設函數(shù)f（x）的定義域為R，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（2）=4．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）證明：f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若有不等式f(x)•f(1+

1

x

)＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先證明0＜f（x）＜1，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達式和已知函數(shù)性質(zhì)證明f（x₁）＜f（x₂），即可得證；
（3）利用抽象表達式，先將不等式化為f(x+1+

1

x

)＜f(1)，再利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式即可得解集

解答：解（1）因為f（2+0）=f（2）•f（0），
所以4=4•f（0），
所以f（0）=1，
又因為4=f（2）=f（1+1）=f²（1），且當x＞0時，f（x）＞1，
所以f（1）=2
（2）當x＜0時，-x＞0，
所以f（-x）＞1，而f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x），
所以f(x)=

1

f(-x)

，
所以0＜f（x）＜1，
對任意的x₁，x₂∈R，當x₁＜x₂時，有f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）（f（x₁-x₂）-1），
因為x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，
所以0＜f（x₁-x₂）＜1，
即f（x₁-x₂）-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)
（3）因為f(x)•f(1+

1

x

)＜2，
所以f(x+1+

1

x

)＜f(1)，而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以x+1+

1

x

＜1，
即：x+

1

x

＜0，
所以

x2+1

x

＜0，
所以x＜0，
所以x的取值范圍是x＜0

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達式的應用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法