Question

（09年海淀區(qū)期末理）（14分）

       如圖，在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA₁=

   （I）求證：BC₁//平面A₁DC；

   （II）求C₁到平面A₁DC的距離；

   （III）求二面角D―A₁C―A的大小。

 

Answer 1

解析：（I）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG，

       在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

      

      

       …………2分

      

       …………4分

       解法一：（II）連結(jié)DC₁，設(shè)C₁到平面A₁DC的距離為h。

    四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

      

      

      

       …………6分

       在等邊三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，

      

       是A₁D在平面ABC內(nèi)的射影，

       …………8分

      

       …………9分

   （III）過(guò)點(diǎn)D作交AC于E，過(guò)點(diǎn)D作交A₁C于F，連結(jié)EF。

      

      

      

      

      

       是二面角D―A₁C―A的平面角，…………12分

       在直角三角形ADC中，

       同理可求：

      

      

       …………14分

       解法二：過(guò)點(diǎn)A作交BC于O，過(guò)點(diǎn)O作交B₁C₁于E。

因?yàn)槠矫?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090510/20090510141753033.gif' width=136>

       所以，分別以CB、OE、OA所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090510/20090510141753036.gif' width=165>是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，則

   

      

       …………6分

   （II）設(shè)平面A₁DC的法向量為

       則

      

      

       取……8分

    …………10分

   （III）同（II）可求平面ACA₁的一個(gè)法向量為…………12分

       設(shè)二面角D―A₁C―A的大小為

      

       …………14分