【題目】已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,離心率為,且一個焦點坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點,以線段為鄰邊作平行四邊形,其中點在橢圓上, 為坐標(biāo)原點,求點到直線的距離的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:
(1)由題意可求得, ,∴橢圓的方程為.
(2)首先討論斜率存在的情況,點到直線的距離的最小值為.
當(dāng)斜率不存在時額外討論可得結(jié)論.
試題解析:
解:(1)由已知設(shè)橢圓的方程為,則.
由,得, , ,∴橢圓的方程為.
(2)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線的方程為.
則由消去得.
.①
設(shè)點, , 的坐標(biāo)分別是, , .
∵四邊形為平行四邊形,∴,
,
由于點在橢圓上,∴,
從而,化簡得,經(jīng)檢驗滿足①式.
又點到直線的距離為.
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.
當(dāng)直線斜率不存在時,由對稱性知,點一定在軸上,
從而點的坐標(biāo)為或,直線的方程為,∴點到直線的距離為1.
∴點到直線的距離的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓恰好經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過原點的直線 (不與坐標(biāo)軸重合)交橢圓于兩點, 軸,垂足為,連接并延長交橢圓于,證明:以線段為直徑的圓經(jīng)過點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題:實數(shù)滿足(),命題:實數(shù)滿足.
(1)若且“”為真,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”已知1丈為10尺,該鍥體的三視圖如圖所示,則該鍥體的體積為( )
A. 10000立方尺 B. 11000立方尺 C. 12000立方尺 D. 13000立方尺
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)面為矩形, , , 為的中點, 與交于點, 側(cè)面.
(1)證明: ;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,氣象部門預(yù)報,在海面上生成了一股較強(qiáng)臺風(fēng),在據(jù)臺風(fēng)中心60千米的圓形區(qū)域內(nèi)將受到嚴(yán)重破壞,臺風(fēng)中心這個從海岸M點登陸,并以72千米/小時的速度沿北偏西60°的方向移動,已知M點位于A城的南偏東15°方向,距A城 千米;M點位于B城的正東方向,距B城 千米,假設(shè)臺風(fēng)在移動的過程中,其風(fēng)力和方向保持不變,請回答下列問題:
(1)A城和B城是否會受到此次臺風(fēng)的侵襲?并說明理由;
(2)若受到此次臺風(fēng)的侵襲,改城受到臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時間有多少小時?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , , 垂直于底面, , , 分別為, 的中點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求四棱錐的體積和截面的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
(1)若,求在區(qū)間[0,3]上的最大值;
(2)若,寫出的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在,使得方程有三個不相等的實數(shù)解,求的取值范圍.
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