Question

如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段AD₁上運動，給出以下四個命題：
①異面直線C₁P和CB₁所成的角為定值；
②二面角P-BC₁-D的大小為定值；
③三棱錐D-BPC₁的體積為定值；
④直線CP與直線ABC₁D₁所成的角為定值．
其中真命題的個數(shù)為（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：對于①由題意及圖形利用異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法及可求解；
對于②由題意及平面具有延展性可知實質為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角；
對于③由題意及三棱錐的體積的算法中可以進行頂點可以輪換性求解體積，和點P的位置及直線AD₁與平面BDC₁的位置即可判斷正誤；
對于④有直線與平面的夾角的定義，求出線面夾角，即可判斷出答案．
解答：解：對于①因為在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在線段AD₁上運動，有正方體的及題意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故這兩個異面直線所成的角為定值90°，所以①正確；
對于②因為二面角P-BC₁-D的大小，實質為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角而這兩的平面為固定的不變的平面所以夾角也為定值，故②正確；
對于③三棱錐D-BPC₁的體積還等于三棱錐的體積P-DBC₁的體積，而平面DBC₁為固定平面且大小一定，又因為P∈AD₁，而AD₁∥平面BDC₁，所以點A到平面DBC₁的距離即為點P到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，故③正確；
對于④由線面夾角的定義，令BC₁與B₁C的交點為O，可得∠CPO即為直線CP與平面ABC₁D₁所成的角，當P移動時這個角是變化的，故④錯誤；
故選C
點評：對于①重點考查了異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法；
對于②重點考查了平面具有延展性及二面角的求法及其定義；
對于③重點考查了三棱錐的體積的體積計算可以進行頂點輪換及線面平行時，直線上任意一點到平面的距離都行等這一結論；
對于④重點考查了直線與平面的夾角，其中求出線面夾角的平面角是解答的關鍵．．