Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點M（4，1），N（2，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為I的直線l與橢圓C交于不同的兩點，且點M到直線l的距離為

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由橢圓經(jīng)過點M（4，1），N（2，2），利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=x+m，聯(lián)立

x2+4y2=20 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-20=0，由點到直線的距離公式能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵橢圓經(jīng)過點M（4，1），N（2，2），
∴

16m+n=1 4m+4n=1

，解得m=

1

20

，n=

1

5

，
∴橢圓C的方程為

x2

20

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）設(shè)l：y=x+m，
聯(lián)立

x2+4y2=20 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-20=0，
則△=-16m²+400＞0，解得-5＜m＜5，
又∵點M到直線l的距離為

2

，
∴點M到直線l的距離d=

|m+3|

2

=

2

，解得m=-1，
∴直線l的方程為x-y-1=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要注意待定系數(shù)法和點到直線的距離公式的合理運用．