Question

設(shè)f（x）=|x-3|+|x-4|
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=

2-f(x)

的定義域；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x滿足f（x）≤ax-1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)g（x）=

2-f(x)

的定義域；
（Ⅱ）作出f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x-3|+|x-4|=

7-2x， x＜3 1， 3≤x≤4 2x-7， x＞4

，
要使函數(shù)g（x）有意義，則2-f（x）≥0，
即f（x）≤2，
作函數(shù)y=f（x）的圖象，它與直線y=2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

5

2

和

9

2

，
由圖象知f（x）≤2的解為

5

2

≤x≤

9

2

，
即函數(shù)的定義域?yàn)閇

5

2

，

9

2

]．
（Ⅱ）函數(shù)y=ax-1的圖象是過點(diǎn)（0，-1）的直線．
當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=f（x）與直線y=ax-1有公共點(diǎn)時(shí)，存在題設(shè)的x．
由圖象知，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，即B（4，1），當(dāng)直線y=ax-1經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，滿足條件，
此時(shí)1=4a-1，解得a=

1

2

，
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，滿足條件．
當(dāng)直線y=ax-1與y=7-2x平行時(shí)，不滿足條件，此時(shí)a=-2，
即當(dāng)a＜0時(shí)，要滿足條件，則a＜-2，
綜上a取值范圍為（-∞，-2）∪[

1

2

，+∞]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的作圖能力．