Question

9．用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[1.3]=1，[3]=3，[-1.2]=-2，則方程x²-2[x]-3=0的解的個數(shù)有3個，所有解的和是2+$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由于x≥[x]，所以可把方程x²-2[x]-3=0寫成2[x]=x²-3，可得不等式2x≥x²-3，求得x的取值范圍．再將x的取值范圍分為5類求解即可得到結(jié)論．

解答 解：因為x≥[x]，方程變形為2[x]=x²-3，
2x≥x²-3，
解此不等式得：-1≤x≤3．
現(xiàn)將x的取值范圍分為5類進行求解．
（1）-1≤x＜0，則[x]=-1，
原方程化為x²-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 則[x]=0，
原方程化為x²-3=0，
無解；
（3）1≤x＜2，則[x]=1，
原方程化為x²-5=0，
無解；
（4）2≤x＜3，則[x]=2，
原方程化為x²-7=0，
解得x=$\sqrt{7}$；
（5）x=3顯然是原方程的解．
綜合以上，所以原方程的解為-1，$\sqrt{7}$，3．
故答案為：3，$2+\sqrt{7}$．

點評 本題考查了含取整函數(shù)的方程，任意一個實數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0，+∞）． 解題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍，從而得到[x]的值．注意分情況進行討論．