Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，x∈R．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=-

a

x

．若至少存在一個x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時求出f（1），切線斜率k=f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（2）求出函數(shù)定義域，然后在定義域的前提下解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）存在一個x₀∈[1，+∞）使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞lnx₀，等價于a＞

lnx0

x0

，令F（x）=

lnx

x

，等價于“當(dāng)x∈[1，+∞）時，a＞F（x）_min”，最后利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=a（1+

1

x2

）-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．   
（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=2（x-

1

x

）-lnx，f′（x）=

2x2-x+2

x2

，
∵f（1）=0，f′（1）=3，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=3（x-1），即3x-y-3=0．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），令h（x）=2x²-x+2，
當(dāng)a＞0時，△=1-4a²，
（�。┤�0＜a＜

1

2

，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得x＜

1- 1-4a2

2a

或x＞

1+ 1-4a2

2a

； 
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-4a2

2a

＜x＜

1+ 1-4a2

2a

．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

）．  
（ⅱ）若a≥

1

2

，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． 
（3））因為存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞lnx₀，等價于a＞

lnx

x

，
令F（x）=

lnx

x

，等價于“當(dāng)x∈[1，+∞）時，a＞F（x）_min”，
對F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=

1-lnx

x2

，
∵當(dāng)x∈[1，e]時，F(xiàn)′（x）≥0，
∴F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，故此時F（x）∈[0，

1

e

]，
∵當(dāng)x∈（e，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，又F（x）＞0，故此時F（x）∈（0，

1

e

），
綜上，F(xiàn)（x）∈[0，

1

e

]，
∴F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．