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（09年萊西一中模擬文）（14分）

已知三次函數.

（Ⅰ）求證：函數圖象的對稱中心點的橫坐標與導函數圖象的頂點橫坐標相同；

(Ⅱ)設點為函數圖象上極大值對應的點，點處的切線交函數的圖象于另一點，點處的切線為,函數圖象對稱中心處的切線為,直線、分別與直線交于點、. 求證:.

 解析：（Ⅰ）, 是奇函數,其圖象關于原點對稱，

所以函數圖象的對稱中心即為.                        -----2分

,其圖象頂點坐標為

所以函數圖象的對稱中心與導函數圖象的頂點橫坐標相同. --4分

（Ⅱ）令得.

當變化時,變化情況如下表:

0

0

極大值

極小值

                                                            

時,有極大值2，

,曲線在點處的切線的斜率.

直線的方程為  ------------6分

曲線在點處的切線的斜率

.

直線的方程為

又曲線在點處的切線

的斜率.

直線的方程為.

聯立直線的方程與直線的方程, ，解得，

.-----------------10分 

聯立直線的方程與直線的方程, ，解得,

.

,

所以. -----------------14分

圖象如上：

 

 

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（09年萊西一中模擬理）（14分）已知點H（－3，0），點P在軸上，點Q在軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足， .

（Ⅰ）當點P在軸上移動時，求點M的軌跡C；

（Ⅱ）過定點作直線交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由.

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（09年萊西一中模擬理）（12分）

設是函數的一個極值點.

   （Ⅰ）求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間；

   （Ⅱ）設，使得成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

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（09年萊西一中模擬文）（12分）某工廠統計資料顯示，產品次品率與日產量(單位件，，)的關系如下：

1

2

3

4

…

96

…

又知每生產一件正品盈利(為正常數)元，每生產一件次品就損失元.

（Ⅰ）將該廠日盈利額(元)表示為日產量的函數；

（Ⅱ）為了獲得最大贏利，該廠的日產量應定為多少件？

（）

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（09年萊西一中模擬理）（12分）

    已知將一枚質地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

   （1）求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；

   （2）拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望Eξ.

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（09年萊西一中模擬）（12分）如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓環(huán)逆時針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為m，圓環(huán)的圓心距離地面的高度為，螞蟻每分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點P0處.

(1)試確定在時刻t時螞蟻距離地面的高度;

(2)畫出函數在時的圖象；

(3)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內,有多長時間螞蟻距離地面超過m？

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