Question

（12分）已知函數(shù)（）.

①當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

②設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn).證明：存在實(shí)數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求.

 

Answer 1

【答案】

①.②存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，且.

【解析】

試題分析：（1）將a，b的值代入后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)的切線的斜率，可得答案．

（2）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x₃是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)可得到x₃=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．

解：①當(dāng)時(shí)，，故，又，

  所以點(diǎn)處的切線方程為：.

②證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810172773289469/SYS201212181018533891823444_DA.files/image010.png">=，由于，故，

所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為，不妨設(shè)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810172773289469/SYS201212181018533891823444_DA.files/image017.png">，且是的一個(gè)零點(diǎn)，故，

由于，故，故，又，

故=，此時(shí)依次成等差數(shù)列，

所以存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，且.

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用問(wèn)題，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考試的必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要引起重視，同時(shí)對(duì)于極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要不充分條件。