給出下列命題:
①函數(shù)y=sin(
2
+x
)是偶函數(shù);
②函數(shù)y=cos(2x+
π
4
)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=
π
8
;
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí),f′(x)>g′(x);
④若對(duì)?x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則4是該函數(shù)的一個(gè)周期.
其中真命題的個(gè)數(shù)為
3
3
分析:對(duì)于①,利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)再利用偶函數(shù)的定義判斷出①正確;對(duì)于②,通過(guò)整體角處理的方法求出對(duì)稱軸判斷出②不正確;對(duì)于③;根據(jù)奇偶性的定義判斷出兩個(gè)函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步得到③正確;對(duì)于④,通過(guò)仿寫(xiě)等式得到f(x+4)=f(x)得到4是該函數(shù)的一個(gè)周期.得到④正確.
解答:解:對(duì)于①,因?yàn)閥=sin(
2
+x
)=-cosx,是偶函數(shù);故①正確;
對(duì)于②,因?yàn)楹瘮?shù)y=cos(2x+
π
4
)圖象的對(duì)稱軸方程為2x+
π
4
=kπ,因?yàn)閤=
π
8
不滿足對(duì)稱軸方程;故②不正確;
對(duì)于③;由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以f(x)為奇函數(shù);g(x)為偶函數(shù);
又因?yàn)閤>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;
所以x<0時(shí),f′(x)>0;g′(x)<0;
則x<0時(shí),f′(x)>g′(x);故③正確;
對(duì)于④,對(duì)?x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2),所以f(x+4)=f(x)
所以4是該函數(shù)的一個(gè)周期.故④正確;
所以①③④為真命題,
故答案為:3
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及利用整體角處理的方法求三角函數(shù)的性質(zhì);考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系,屬于一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=4cos(2x+
π
3
)
的一條對(duì)稱軸是直線x=-
12

②已知函數(shù)f(x)=min{sinx,cosx},則f(x)的值域?yàn)閇-1,
2
2
]
;
③若α,β均為第一象限角,且α>β,則sinα>sinβ.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(3a-1)x-2  x<1
logax         x≥1
,現(xiàn)給出下列命題:
①函數(shù)f(x)的圖象可以是一條連續(xù)不斷的曲線;
②能找到一個(gè)非零實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù);
③a>1時(shí)函數(shù)y=f (|x|) 有最小值-2.
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),則稱f(x)為M上的“l(fā)高調(diào)函數(shù)”.現(xiàn)給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=2x為R上的“1高調(diào)函數(shù)”;
②函數(shù)f(x)=sin2x為R上的“A高調(diào)函數(shù)”;
③如果定義域?yàn)閇-1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上“m高調(diào)函數(shù)”,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞);
其中正確的命題是
①②③
①②③
.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù);        ②函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù);
③函數(shù)y=|cos2x+
1
2
|
的周期是
π
2
;    ④函數(shù)y=sin(x+
2
)
是偶函數(shù).
其中正確的命題的序號(hào)是
①④
①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)y=cos(
2
3
x+
π
2
)
是奇函數(shù);②函數(shù)y=sinx+cosx的最大值為
3
2
;
③函數(shù)y=tanx在第一象限內(nèi)是增函數(shù);
④函數(shù)y=sin(2x+
π
2
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對(duì)稱圖形.
其中正確的命題序號(hào)是

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