Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論關于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個數(shù)；
（Ⅲ）當a＞0，b＞0時，求證：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)f（x）的值域，然后對函數(shù)f（x）進行求導，根據導函數(shù)的正反判斷函數(shù)的單調性，進而可得到最小值；
（2）先由（1）可判斷函數(shù)在不同區(qū)間的不同取值，然后對m的范圍進行分析可確定方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個數(shù)．
（3）先將不等式f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2轉化為f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，然后令函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）并將函數(shù)f（x）的解析式代入后求導數(shù)，根據導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性從而求出函數(shù)g（x）的最小值，并且任意x有g（x）大于等于g（x）的最小值，得證．
解答：解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞）
，
當x∈（0，+∞）時，f′（x），f（x）的變化的情況如下：

所以，f（x）在（0，+∞）最小值是．
（Ⅱ）當，f（x）單調遞減且f（x）的取值范圍是；
當時，f（x）單調遞增且f（x）的取值范圍是
下面討論f（x）-m=0的解；
所以，當時，原方程無解；
當時，原方程有唯一解；
當時，原方程有兩解
（Ⅲ）原不等式可化為：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2
設函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）
則g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）

令g'（x）＞0，則，∴，∴，
解得：，
令g'（x）＜0，解得：0＜x＜
∴函數(shù)g（x）在上單調遞減，在上單調遞增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值為
∴當x∈（0，k）時，總有g（x），
即：
=
令x=a，k-x=b，則有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系．導數(shù)是高考的熱點題，每年必考，要給予充分重視．