Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)S（0，-

1

3

）的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得c=1，a=

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²，兩圓相切于點(diǎn)（0，1），T（0，1）就是所求的點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴c=1，a=

2

，∴b²=2-1=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|AB|=

8

3

，
從而以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2①
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|AB|=2，
從而以AB為直徑的圓的方程為x²+y²②
聯(lián)立①②得，

x=0 y=0

，即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），
∴所求的T點(diǎn)如果存在，只能是（0，1）…（8分）
事實(shí)上，T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下：
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1），
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

12k

18k2+9

，x1x2=

-6k

18k2+9

又

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)…（10分）
∵

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-6k

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0…（12分）
∴

TA

⊥

TB

，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）
∴在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)點(diǎn)T（0，1）滿足條件．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．