Question

16．過點(diǎn)M（0，1）的直線l交曲線x²+y²=4于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），當(dāng)l饒點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P、A、B的坐標(biāo)，利用向量求得坐標(biāo)之間的關(guān)系，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得P（0，0）；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過定點(diǎn)（0，1）的直線L：y=kx+1，代入x²+y²=4，可得x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，消去參數(shù)k即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及圓上點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得（x，y）=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（0，0）；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過定點(diǎn)（0，1）的直線l：y=kx+1，
代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²+2kx-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=\frac{-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+2=\frac{2}{1+{k}^{2}}$，
∴x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
消去參數(shù)k得：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．
驗(yàn)證（0，0）滿足上式，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．
故答案為：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用消參法求軌跡方程，是中檔題．