Question

16．過點M（0，1）的直線l交曲線x²+y²=4于A，B兩點，O是坐標原點，l上的動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），當l饒點M旋轉時，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出動點P、A、B的坐標，利用向量求得坐標之間的關系，當直線l的斜率不存在時，可得P（0，0）；當直線l的斜率存在時，設過定點（0，1）的直線L：y=kx+1，代入x²+y²=4，可得x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，消去參數k即可得出結論．

解答 解：設動點P（x，y）及圓上點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），得（x，y）=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
當直線l的斜率不存在時，P（0，0）；
當直線l的斜率存在時，設過定點（0，1）的直線l：y=kx+1，
代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²+2kx-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=\frac{-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+2=\frac{2}{1+{k}^{2}}$，
∴x=-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
消去參數k得：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（y≠0）．
驗證（0，0）滿足上式，
∴動點P的軌跡方程為x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．
故答案為：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查軌跡方程，解題的關鍵是確定動點坐標之間的關系，利用消參法求軌跡方程，是中檔題．