Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點P（1，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l不經過點P，斜率為$\frac{1}{3}$，與橢圓交于不同兩點A、B．
①求證：直線PA、PB的斜率之和為定值；
②若△PAB是直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）①設直線l的方程為y=$\frac{1}{3}$x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立可得：4x²+6tx+9t²-12=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關系代入k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=0為定值．
②由①可知：k_PA+k_PB=0，由△PAB是直角三角形，可得k_PA•k_PB=-1，化為y₁=x₁，代入橢圓方程解出A，即可得出．

解答 （1）解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點P（1，1），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=$\frac{4}{3}$，$c=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$．
（2）①證明：設直線l的方程為y=$\frac{1}{3}$x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為4x²+6tx+9t²-12=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-3t}{2}$，x₁x₂=$\frac{9{t}^{2}-12}{4}$．
∴y₁y₂=$（\frac{1}{3}{x}_{1}+t）（\frac{1}{3}{x}_{2}+t）$=$\frac{1}{9}{x}_{1}{x}_{2}$+$\frac{t}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+t²，
y₁+y₂=$\frac{1}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+2t，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{9{t}^{2}-12}{4}$-$\frac{-3t}{2}$+1=$\frac{9{t}^{2}+6t-8}{4}$．
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（\frac{1}{3}{x}_{1}+t-1）（{x}_{2}-1）+（\frac{1}{3}{x}_{2}+t-1）（{x}_{1}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{\frac{2}{3}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{3t-4}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（2-2t）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{3{t}^{2}-4}{2}-\frac{t（3t-4）}{2}+（2-2t）}{\frac{9{t}^{2}+6t-8}{4}}$=0，
∴k_PA+k_PB=0為定值．
②由①可知：k_PA+k_PB=0，
由△PAB是直角三角形，∴k_PA•k_PB=-1，
取k_PA=-k_PB=1，
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$=1，化為y₁=x₁，代入橢圓方程可得${x}_{1}^{2}+3{x}_{1}^{2}=4$，解得x₁=-1，∴A（-1，-1），
∴-1=-$\frac{1}{3}$+t，解得t=$-\frac{2}{3}$，
∴直線l的方程為：y=$\frac{1}{3}x$-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．