Question

12．求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}+x-6}$的值域．

Answer 1

分析 先將原函數(shù)變成$y=1+\frac{5}{{x}^{2}+x-6}$，而能得到${x}^{2}+x-6≥-\frac{25}{6}$，從而得到$-\frac{25}{6}≤{x}^{2}+x-6＜0$，或x²+x-6＞0，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求$\frac{1}{{x}^{2}+x-6}$的范圍，從而得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$y=\frac{{x}^{2}+x-1}{{x}^{2}+x-6}=\frac{{x}^{2}+x-6+5}{{x}^{2}+x-6}=1+\frac{5}{{x}^{2}+x-6}$；
${x}^{2}+x-6=（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{25}{4}≥-\frac{25}{4}$；
即$-\frac{25}{4}≤{x}^{2}+x-6＜0$或x²+x-6＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}+x-6}≤-\frac{4}{25}$，或$\frac{1}{{x}^{2}+x-6}＞0$；
∴$y≤\frac{1}{5}$，或y＞1；
∴原函數(shù)的值域?yàn)?（-∞，\frac{1}{5}]∪（1，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查值域的概念，分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)值域的方法，以及不等式的性質(zhì)：同向不等式取倒數(shù)時(shí)，方向改變．