Question

已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且x+y＞1．用反證法證明：

y

1+x

＞

1

3

或

x

1+y

＞

1

3

中至少有一個(gè)成立．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：假設(shè)

y

1+x

＞

1

3

與

x

1+y

＞

1

3

都不成立，即

y

1+x

≤

1

3

且

x

1+y

≤

1

3

，根據(jù)x，y都是正數(shù)可得x+y≤1，這與已知x+y＞1矛盾，故假設(shè)不成立．

解答： 證明：假設(shè)

y

1+x

＞

1

3

與

x

1+y

＞

1

3

都不成立，即

y

1+x

≤

1

3

且

x

1+y

≤

1

3

，…（2分）
∵x，y都是正數(shù)，∴1+x≥3y，1+y≥3x，…（5分）
∴1+x+1+y≥3x+3y，…（8分）
∴x+y≤1…（10分）
這與已知x+y＞1矛盾…（12分）
∴假設(shè)不成立，即

y

1+x

＞

1

3

或

x

1+y

＞

1

3

中至少有一個(gè)成立…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，應(yīng)先假設(shè)要證的命題的否定成立，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．