Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞0，a≠1）．
（I）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（II）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）滿足：對于區(qū)間（2，+∞）上使函數(shù)f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0．

Answer 1

分析：（I）、根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)列不等式，解指數(shù)不等式即可．
（II）、通過換元對于區(qū)間（2，+∞）上使函數(shù)f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0
轉(zhuǎn)化為g（t）═-（t+1）²+4，在t∈[

4-a2

，2)的函數(shù)值均非負(fù)．歸結(jié)為二次函數(shù)的最值問題．

解答：解：（I）由4-a^x≥0，得a^x≤4．當(dāng)a＞1時，x≤log_a4；當(dāng)0＜a＜1時，x≥log_a4．
即當(dāng)a＞1時，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，log_a4]；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的定義域?yàn)閇log_a4，+∞）．
令t=

4-aX

，則0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴設(shè)g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
當(dāng)t∈[0，2）時，g（t）是單調(diào)減函數(shù)，∴-5＜y≤3，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-5，3]．
（II）若存在實(shí)數(shù)a使得對于區(qū)間（2，+∞）上使函數(shù)f（x）有意義的一切x，都有f（x）≥0，則區(qū)間（2，+∞）是定義域的子集．
由（I）知，若a＞1不滿足條件；
若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜a^x＜a²＜1，則t∈[

4-a2

，2)．
g（t）═-（t+1）²+4的對稱軸為x=-1，在t∈[

4-a2

，2)為減函數(shù)
因?yàn)椤?span id="vxl9lhh" class="MathJye">a2＜1 ∴ 

4-a2

＞ 1，g(

4-a2

)＜g(1)=0
∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．
綜上，滿足條件的a的取值范圍是∅．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查求函數(shù)的定義域和值域問題，用到了換元和分類討論的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)的最值問題，