Question

如圖，在三棱錐中，平面平面,，．設(shè)，分別為，中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面;

（Ⅲ）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得過三點(diǎn) ,,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由．

                                                    

Answer 1

證明：

（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以∥．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114183585132496.files/image126.gif'>面，面，

所以∥平面．                                               

（Ⅱ）因?yàn)槠矫?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114183585132496.files/image074.gif'>面, 平面平面=,又平面，，所以面.

所以．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114183585132496.files/image076.gif'>，且，

所以面．                                  

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn),,的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．

  取中點(diǎn)，連，連.

由（Ⅰ）可知∥平面．

  因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

  所以∥．

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114183585132496.files/image138.gif'>平面，平面，

  所以∥平面．

  又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/01/14/2014040114183585132496.files/image140.gif'>，

  所以平面∥平面，

  所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．              

故當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn),,所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行．